题目的真实性已经不重要了，不要在意这个细节。🙄️

题目

孙膑、庞涓都是鬼谷子的徒弟。（反正意思就是他们仨都智慧过人）

一天鬼谷子从2到99中选出了两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞。

庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。

孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。

庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。

请问这两个数字是什么？为什么？（题目大意就是答得出来你也智慧过人）

提示

高亮选择下一行查看提示。

建议码代码来辅助解题，就酱……另外，考虑一些质数相关的排除法。

答案

点我前往

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

真答案

恭喜你发现了新大陆！🎉

庞涓：我不能确定这两个数是什么

庞涓拿到的和不可能是5或者6（5=2+3，6=2+4，均有唯一解），同理也不可能是196或者197。

所以两数字和的范围一定是7~195。

庞涓：我肯定你也不知道这两个数是什么

知道两个质数的积一定可以推算出唯一解，所以庞涓知道的数一定无法拆解成两个质数的和。

1
2
3
4
5
6
7
8
a = [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97] # 质数集合
b = range(7,196) # 庞涓可能拿到的和集合
for i in range(0, len(a)):
    for j in range(i + 1, len(a)):
        result = a[i] + a[j] # 两个质数的和
        if result in b:
            b.remove(result) # 庞涓不可能拿到两个质数的和，从结果中移除
print b

用上面一段python，得到庞涓手上的和一定是在以下范围内：

1
[11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,93,95,97,101,103,105,107,109,111,113,115,117,119,121,123,125,127,129,131,133,135,137,139,141,143,145,147,149,151,153,155,157,159,161,163,165,166,167,169,171,173,174,175,177,178,179,181,182,183,184,185,187,188,189,190,191,192,193,194,195]

因为题目限制了数字的范围，所以其实如果庞涓手上的和过大，孙膑也有机会得到唯一解。所谓过大，就是孙膑有机会拿到大于上限一半的某个质因数。大于99/2的第一个质数就是53了，那么从55开始庞涓得到的和就可拆分成55=53+2、56=53+3、57=53+4……乘积的因数有53则孙膑能得到唯一解，而庞涓确认孙膑得不到唯一解，所以庞涓手上的和范围缩减为：

1
[11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53]

孙膑：听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了

孙膑也推算出了两数和的范围，剩下的就是分解质因数，看看组合起来的两数和在不在上面范围内。

比如积是18，那么可能是2x9或者3x6，但是2+9=11在上面和范围内，3+6=9不在上面和的范围内，所以孙膑可以获得唯一解：两个数是2和9。

比如积是30，那么可能是2x15或者3x10或者5x6，但是2+15=17且5+6=11都在上面和的范围内，所这种情况孙膑是拿不到唯一解的。

所以我们要做的事情就是穷举每一个有效和所拆分出的两个数，对应的乘积有没有重复。

比如：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11=2+9 --> 2x9=18
11=3+8 --> 3x8=24
11=4+7 --> 4x7=28
11=5+6 --> 5x6=30
17=2+15 --> 2x15=30
17=3+14 --> 3x14=42
17=4+13 --> 4x13=52
17=5+12 --> 5x12=60
17=6+11 --> 6x11=66
17=7+10 --> 7x10=70
17=8+9 --> 8x9=72
……

这里30出现了两次，所以30就不可能是孙膑拿到的积之一。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
b = [11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53]
c = []
d = [] # 用来记录重复出现过的乘积
for i in b:
    for j in range(2, int(i * 0.5) + 1):
        result = j * (i - j) # 孙膑可能拿到的积
        if result in c:
            if result not in d:
                d.append(result) # 重复出现过的积
        else:
            c.append(result) # 首次出现积
for i in d:
    c.remove(i)  # 重复出现过的积得不到唯一解，移除
print c

用上面一段python，得到孙膑手上的积一定是在以下范围内：

1
[18,24,28,52,76,112,130,50,92,110,140,152,162,170,176,182,54,100,138,154,168,190,198,204,208,96,124,174,216,234,250,276,294,304,306,160,186,232,252,336,340,114,148,238,288,310,348,364,390,400,408,414,418,172,246,280,370,442,480,496,510,522,532,550,552,98,144,188,230,308,344,410,440,468,494,518,560,578,594,608,620,638,644,648,650,240,282,360,430,492,520,570,592,612,646,660,672,682,690,696,700,702]

庞涓：我现在也知道这两个数字是什么了

庞涓现在也知道了所有积的范围，他要做的就是把自己的和拆开来，看看相乘的积在不在上面范围里。

假设庞涓的和是11，那么积可能为2x9=18或者3x8=24、4x7=28，都在上面的范围内，所以得不到唯一解。

所以和上面的类似，我们又要做一次穷举。这次我们有两种解法，一种是从和下手，一种是从积下手。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
# 紧接着上一节代码的后面运行
for i in b:
    count = 0 # 记录和拆成的两个数相乘能对应几个有效积
    for j in range(2, int(i * 0.5) + 1):
        result = j * (i - j) # 得到的积
        if result in c:
            count = count + 1 # 对应的有效积多了一个
    if count == 1:
        print i # 仅能出现一次有效积的和为答案

从和下手，仅对应一个有效积时，可获得唯一解：

1
17

从积下手要分解质因数，写起来比较复杂就不写了先。🙄️

所以最终的结果就是庞涓的和是17，孙膑的积是52，这两个数是4、13。

验算

4 x 13 = 52， 4 + 13 = 17（大意：我智慧过人，快夸夸我）